Theses

Ideas for Master Theses

• Structure preserving methods for hyperbolic models
  1. Metodi che preservano equilibri di movimento per Shallow Water (se sei più interessato alla modellistica possiamo estendere questa cosa a modelli più complicati: multi-layer, Ripa models, sediment transport, … 1D o 2D
  2. Metodi alto ordine che preservano la positività di quantità che son fisicamente positive (tipo l’altezza della colonna d’acqua) magari in combinazione con la preservazione di qualche equilibrio
  3. Studiare metodi di ordine arbitrariamente alto impliciti efficienti
  4. Metodi DG di ordine arbitrariamente alto per problemi iperbolici con dei limiter adattivi che capiscano quando ci sono shock o simili per abbassare l’ordine
• Model order reduction: sono modelli che permettono di ridurre i costi computazionali per problemi parametrici quando servono tante simulazioni per diversi parametri (per esempio in contesti di Uncertainty Quantification). (vedi intro a MOR)
  1. Studiare delle rete neurali che facciano da surrogato a metodi numerici
  2. NN adattive per ROM
  3. usare metodi un po’ più classici cercando di preservare equilibri delle equazioni
  4. preservare le disuguaglianze di entropia

Ideas for Bachelor Theses

• ODE (vedi anche corso su metodi alto ordine per ODE
  1. Metodi Modified Patankar: sono variazioni linearmente implicite di metodi espliciti (sia RK che multistep), dove si preserva la positività della quantità d’interesse. Possiamo studiarne delle versioni ad alto ordine, la loro stabilità o concentrarci su applicazioni più complesse. lezione
  2. Metodi predictor-corrector di ordine arbitrariamente alto: possiamo vederne alcuni nella loro versione implicita (lineare), studiarne la stabilità e confrontarli con dei RK impliciti classici con Newton implicito come risolutore e vedere chi è più veloce. lezione
  3. Metodi di rilassamento per conservare l’entropia globale del sistema. Son dei metodi che cambiano leggermente il timestep alla fine del metodo stesso, ottenendo così la conservazione a livello numerico di una quantità conservata del sistema, per esempio l’energia totale in Newton. Possiamo vedere come si derivano, la dimostrazione che l’ordine si mantiene e che preservano la quantità che stiamo cercando. lezione
  4. Derivazione delle condizioni d’ordine d’accuratezza per metodi di Runge-Kutta con la teoria degli alberi libro Butcher
• PDE
  1. Applicare il rilassamento dell’entropia a problemi iperbolici che conservano l’entropia (o che la dissipano), e.g. Burgers con flusso numerico di Tadmor.